Materi 14 Keliling dan Luas Bangun Datar

Catatan: Biasanya di dalam Ujian Nasional SMK kelas 12 untuk jurusan akuntansi dan pemasaran, soal keliling dan luas akan muncul masing-masing 1 soal. Materi ini diperlukan ketelitian dan kemampuan memahami gambar. Pengalaman UN 2014 ada soal dalam bentuk kalimat cerita, namun di sini tidak saya bahas. UN 2014 terdapat beberapa perbedaan dari tahun sebelumnya untuk materi ini, ada bentuk layang-layang dan derajat (kurang lebih sama dengan gambar lingkaran di bawah) dalam lingkaran. Berikut adalah rumus dan contoh latihan soal beserta jawabannya:

Rumus persegi: 

Keliling = AB + BC + CD + DA atau 4s

Luas = s x s 

s = sisi

 

Rumus Persegi Panjang: 

Keliling = AB + BC + CD + DA atau 2p + 2l atau 2 (p+l)

Luas = p x l

p = panjang 

l = lebar

Rumus Segitiga: 

Keliling = AB + BC + CA atau s+s+s

Luas = 1/2 x a x t

a = alas 

t = tinggi 

Rumus Trapesium: 

Keliling = AB + BC + CD + DA

Luas = 1/2 (a+b) t

a = sisi atas 

b = sisi bawah 

t = tinggi 

Rumus Lingkaran: 

Keliling = 2~r (baca ~ = phi, maklum gak ada simbolnya) atau K = ~d (baca: phi x d)

Luas = ~r2 (baca: phi r kuadrat)

~ (baca: phi) nilainya 22/7 atau 3,14

r = jari -jari (nilainya sama dengan 1/2 diameter) 

d = diameter (nilainya sama dengan 2x jari-jari)

Rumus Layang-layang:

Keliling = AB + BC + CD + DA

Luas = 1/2 x d1 x d2

d1 = diagonal 1 (AC)

d2 = diagonal 2 (BD)

Berikut ini contoh soal dan jawabannya: 

1.Berdasarkan gambar di samping, tentukan luas dan kelilingnya gambar yang diarsir!

Jawab: 

a. Luas 

- Cari luas persegi panjang 

L = p x l 

L = 21 cm x 14 cm 

L = 294 cm2

- Cari luas lingkaran

*ada 1,5 lingkaran = 3/2

r = 7 cm 

L 3/2 O = 3/2 ~ r2

L = 3/2. 22/7. 7. 7
L = 231 cm2

Luas yang diarsir = luas persegi panjang - luas lingkaran
Luas yang diarsir = 294 cm2 - 231 cm2
Luas yang diarsir = 63 cm2.

b. Keliling
*berarti hitung semua garis yang mengelilingi arsiran tersebut. 
-Keliling 3/2 lingkaran
K 3/2 O = 3/2. 2. ~. r
K = 3/2. 2. 22/7. 7
K = 66 cm

Keliling yang diarsir adalah 66 cm + 14 cm = 80 cm. 

2.Berdasarkan gambar di samping, tentukan luas dan kelilingnya gambar yang diarsir!
Jawab: 

a. Luas 

- Cari luas persegi

L = s x s

L = 14 cm x 14 cm 

L = 196 cm2

- Cari luas lingkaran

*ada 1lingkaran

r = 7 cm 

L O = ~ r2

L = 22/7. 7. 7
L = 154 cm2

Luas yang diarsir = luas persegi - luas lingkaran
Luas yang diarsir = 196 cm2 - 154 cm2
Luas yang diarsir = 42 cm2.

b. Keliling
*berarti hitung semua garis yang mengelilingi arsiran tersebut. 
-Keliling 1 lingkaran
K O = 2. ~. r
K = 2. 22/7. 7
K = 44 cm

Keliling yang diarsir adalah 44 cm.

3.Berdasarkan gambar di samping, tentukan luas dan kelilingnya gambar yang diarsir!
Jawab:

a. Luas 

- Cari luas persegi panjang 

L = p x l 

L = 21 cm x 14 cm 

L = 294 cm2

- Cari luas lingkaran besar

*ada 1 lingkaran

r = 7 cm 

L O =  ~ r2

L = 22/7. 7. 7
L = 154 cm2

- Cari luas lingkaran kecil
*ada 1 lingkaran
r = 3,5 cm

L O =  ~ r2

L = 22/7. 3,5. 3,5
L = 38.5 cm2

Luas yang diarsir = luas persegi panjang - luas lingkaran besar - luas lingkaran kecil
Luas yang diarsir = 294 cm2 - 154 cm2 - 38,5 cm2
Luas yang diarsir = 101,5 cm2.

b. Keliling
*berarti hitung semua garis yang mengelilingi arsiran tersebut. 
-Keliling 1 lingkaran besar
K O =  2. ~. r
K = 2. 22/7. 7
K = 44 cm

-Keliling 1 lingkaran kecil
K O =  2. ~. r
K = 2. 22/7.3,5
K = 22 cm
 
Keliling yang diarsir adalah 44 cm + 22 cm + 4(7cm) = 94 cm. 

4.Berdasarkan gambar di samping, tentukan luas gambar yang diarsir! 
Jawab:
-Cari luas persegi panjang
L = p x l
L = 20 cm x 14 cm
L = 280 cm2

- Cari luas 1/2 lingkaran
L 1/2 O = 1/2 ~ (r)2
L = 1/2. 22/7. 7. 7
L = 77 cm2

- Cari luas segitiga
L = 1/2 a x t
L = 1/2. 14 cm x 7 cm
L = 49 cm2

Luas gambar yang diarsir adalah luas persegi panjang - luas 1/2 lingkaran - luas segitiga
Luas gambar yang diarsir = 280 cm2 - 77 cm2 - 49 cm2 = 154 cm2.

5. Berdasarkan gambar di samping, tentukan keliling gambar yang diarsir! 

Jawab: *untuk gambar ini kita hanya menjumlahkan setiap sisinya. hanya perlu teliti.
K = 2 (12 cm) + 2 (8 cm) + 2 (5 cm) + 4 (4 cm) + 2 (5 cm)
K = 24 cm + 16 cm + 10 cm + 16 cm + 10 cm
K = 76 cm.









6.UN 2013  
Berdasarkan gambar di samping, tentukan keliling gambar yang diarsir!

Jawab:
- Cari sisi miring
c2 = a2 + b2
c2 = (3)2 + (4)2
c2 = 9 + 16 = 25
c = 5

Jadi, keliling gambar yang diarsir adalah 8 ( 7 cm) + 8 ( 5 cm) = 56 cm + 40 cm = 96 cm.










7.UN 2013

Berdasarkan gambar di samping, tentukan luas gambar yang diarsir! 
Jawab:
- Cari luas 1/2 lingkaran
L 1/2 O = 1/2. ~ r2
L = 1/2. 22/7. 7. 7
L = 77 cm2

- Cari luas segitiga
L = 1/2 a x t
L = 1/2. 12 cm x 8 cm
L = 48 cm2

Luas gambar yang diarsir = luas 1/2 lingkaran + luas segitiga
Luas gambar yang diarsir = 77 cm2 + 48 cm2
Luas gambar yang diarsir = 125 cm2.

Materi 13 Deret Geometri Tak Hingga

Catatan: Biasanya di dalam Ujian Nasional SMK kelas 12 untuk jurusan akuntansi dan pemasaran, soal deret geometri tak hingga akan muncul sekitar 1 soal. Materi ini hanya memiliki 1 rumus. Yang dipertanyakan dalam soal biasanya berkaitan dengan rasio, suku pertama, dan jumlah deret geometri tak hingga. Pelajari juga materi sebelumnya yaitu Materi 11 Barisan dan Deret Aritmatika , Materi 12 Barisan dan Deret Geometri Berikut adalah rumus dan contoh latihan soal beserta jawabannya:

Rumus: 

S ~ =      a  

            1- r

a = suku pertama 

r = rasio 

Soal dan jawabannya: 

1. UN 2013 

Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 30 dengan rasio 2/3. Suku pertama deret tersebut adalah... 

Jawab:

S ~ =      a  

            1- r

30 =         a     

            1- 2/3

30 =         a     

            3/3- 2/3

30 =     a  

           1/3

 a = 30 x 1/3 = 10.

2. Jika jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 15 dan suku pertamanya adalah 3, maka rasio deret tersebut adalah... 

Jawab:

S ~ =      a  

            1- r

15 =      3  

            1- r

15 (1-r) = 3 

15 - 15r = 3

15 - 3 = 15r 

12 = 15r

r = 12/15 = 4/5. 

3. Jika rasio suatu deret geometri tak hingga adalah 2/3 dan suku pertamanya adalah 6 maka jumlah deret tersebut adalah... 

Jawab: 

S ~ =      a  

            1- r

S ~ =       6   

            1-2/3

S ~ =         6     

            3/3-2/3

S ~ =     6  

            1/3

S ~ = 6 : 1/3 = 6 x 3/1 = 18.

4. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 2m. Setiap kali memantul dari lantai, bola mencapai ketinggian 3/4 dari ketinggian sebelumnya. Berapakah panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti?
Jawab: *Khusus untuk soal model seperti ini, kita menjumlahkan panjang lintasan saat bola turun dan bola naik.
1. Lintasan saat bola turun
a = 2
r = 3/4

S ~ =      a  

            1- r

S ~ =       2   

            1-3/4

S ~ =         2    

            4/4-3/4

S ~ =      2       =  2 : 1/4 = 2 x 4/1 = 8m
             1/4

2. Lintasan saat bola naik
a = 2 x 3/4 = 3/2
r = 3/4

S ~ =      a  

            1- r

S ~ =     3/2  

            1-3/4

S ~ =        3/2    

            4/4-3/4

S ~ =    3/2    = 3/2 : 1/4 = 3/2 x 4/1 = 6m

             1/4

Panjang lintasan hingga bola berhenti adalah 8m + 6m = 14m. 

             

Materi 12 Barisan dan Deret Geometri

Catatan: Biasanya di dalam Ujian Nasional SMK kelas 12 untuk jurusan akuntansi dan pemasaran, soal barisan dan deret geometri akan ada paling banyak 2 soal. Materi ini hampir sama dengan materi sebelumnya  Materi 11 Barisan dan Deret Aritmatika. Materi ini juga beragam modelnya.Mari kita pelajari bersama.

Berikut ini rumusnya:

Mari kita coba dengan soal latihan: 

1. UN 2013 

Diketahui suatu barisan geometri: 16, 8, 4, ..., 1/32. Banyak suku pada barisan tersebut adalah... 

Jawab: 

a = 16 

r =  U2/U1 = U3/U2 = 8/16 = 4/8 = 1/2

Un = a.(r)n-1 (n-1 adalah pangkat seperti pada gambar)

1/32 = 16. (1/2)n-1

1/32 : 16 = (1/2)n-1

1/32 x 1/16 = (1/2)n-1

1/512 = (1/2)n-1

(1/2)9 (baca: 2 pangkat 9) = (1/2)n-1 

9 = n-1

n = 10. 

Jadi, banyak suku pada barisan geometri tersebut adalah 10.

2. Dari suatu barisan geometri diketahui suku ke-3 adalah 4 dan suku ke-6 adalah 32. Maka suku ke-8 adalah... 

Jawab:  Un = a.(r)n-1 

U3 = ar3-1

U3 = ar2 (berlaku untuk suku lainnya). 

U6   =   ar5   =   32

U3        ar2         4

r3 = 8 

r = 2

U3 = ar2 = 4 

a(2)2 = 4

a = 1

U8 = ar7

U8 = 1.(2)7

U8 = 1. 128 = 128

3. Suatu deret geometri mempunyai suku ke-2 = 8 dan suku ke-6 = 2.048. Jumlah 5 suku pertama adalah... 

Jawab: 

U6   =   ar5   =   2.048

U2         ar             8 

r4 = 256 

r = 4

U2 = ar = 8

a.4 = 8 

a = 2 

Karena rasio >1

S5 = a ((r)n-1)

             r-1 

S5 = 2 ((4)5-1)

             4-1

S5 = 2 (1024-1)

              3 

S5 = 2 (1023)   = 2.046 =  682.

              3              3

4. Seutas tali dibagi menjadi 6 bagian dengan panjang yang membentuk barisan geometri, jika yang paling pendek 3 cm dan yang paling panjang 96 cm, maka panjang tali semula adalah... 

Jawab: a = 3

U6 = ar5

96 = 3. (r)5

96/3 = r5

32 = r5

r = 2

Karena rasio >1

S6 = a ((r)n-1)

             r-1 

S6 = 3 ((2)6-1)

             2-1

S6 = 3 (64-1)

             1

S6 = 3 (63)   = 189 cm.

 

  

Materi 11 Barisan dan Deret Aritmatika

Catatan: Biasanya di dalam Ujian Nasional SMK kelas 12 untuk jurusan akuntansi dan pemasaran, soal barisan dan deret aritmatika akan muncul paling banyak 2 soal. Materi ini bagi sebagian orang sulit karena bentuk soalnya beraneka ragam. Berikut adalah rumus dan contoh latihan soal beserta jawabannya:

Rumus barisan aritmatika: 

Un = a + (n-1) b  (jika ditanya suku ke-....)

Rumus deret aritmatika: 

Sn = n/2 (2a + (n-1) b) atau Sn = n/2 (a + Un) (jika ditanya jumlah .... suku)

a = suku pertama 

b = beda 

n = ke...

Soal dan jawabannya: 

1. UN 2013

Diketahui suku ketujuh barisan aritmatika adalah 12 dan suku ke dua belas adalah 7. Suku kesepuluh adalah... 

Jawab: Un = a + (n-1) b 

U7 = a + (7-1) b 

U7 = a + 6b (berlaku untuk suku-suku lainnya) 

a + 6b = 12 

a + 11b = 7 - 

     -5b = 5

       b = -1

a + 6b = 12 

a + 6 (-1) = 12 

a = 18

U10 = a + (10-1) b 

U10 = 18 + 9 (-1)

U10 = 18 -9 

U10 = 9 

2. Diketahui suku ketujuh barisan aritmatika adalah 12 dan suku ke dua belas adalah 7. Jumlah 10 suku pertama adalah... 

Jawab: Un = a + (n-1) b 

U7 = a + (7-1) b 

U7 = a + 6b (berlaku untuk suku-suku lainnya) 

a + 6b = 12 

a + 11b = 7 - 

     -5b = 5

       b = -1

a + 6b = 12 

a + 6 (-1) = 12 

a = 18

U10 = a + (10-1) b 

U10 = 18 + 9 (-1)

U10 = 18 -9 

U10 = 9 

S10 = 10/2 (2a + (n-1) b)

S10 = 5 (2.18 + (10-1) (-1))

S10 = 5 (36 - 9)

S10 = 5 (27) = 135.

Atau 

S10 = 10/2 (a + U10)

S10 =  5 (18 + 9)

S10 = 5 (27) = 135. 

3. UN 2013

Sebuah perusahaan pada tahun ke-2 mendapat keuntungan sebesar Rp 100.000.000,00 dan pada tahun ke-5 sebesar Rp 175.000.000,00. Jika besar kenaikan keuntungan tiap tahun tetap, jumlah keuntungan selama 6 tahun adalah... 

Jawab: 

a +   b = 100.000.000

a + 4b = 175.000.000 - 

     -3b = -75.000.000

        b =  25.000.000

a + b = 100.000.000

a + 25.000.000 = 100.000.000

a = 75.000.000

S6 =  6/2 (2a + (6-1) b)

S6 = 3 (2.(75.000.000) + 5.(25.000.000))

S6 = 3 (150.000.000 + 125.000.000)

S6 = 3 (275.000.000)

S6 = Rp 825.000.000,00. 

Jadi, keuntungan selama 6 tahun adalah Rp 825.000.000,00. 

4. Kawat yang panjangnya 140m akan dipotong menjadi 7 bagian. Masing-masing potongan panjangnya berbeda. Jika diurutkan potongan kawat terpendek panjangnya 5m, berikutnya 5m lebih panjang dari potongan sebelumnya, maka panjang potongan kawat yang terpanjang adalah... 

Jawab: a = 5 

b = 5

U7 = a + (n-1) b
U7 = 5 + (7-1) 5
U7 = 5 + 30
U7 = 35

Maka kawat yang paling panjang atau sama dengan suku terakhir adalah 35m.

5. Jumlah produksi suatu pabrik pada setiap bulannya membentuk deret aritmatika. Jika banyak produksi pada bulan keempat 17 ton dan jumlah produksi selama empat bulan pertama 44 ton, maka banyak produksi pada bulan kelima adalah...
Jawab:

S4 =  4/2 (a + U4)

44 = 2 (a + 17)

44 = 2a + 34

44 - 34 = 2a

10 = 2a 

   a = 5 

U4 = a + 3b = 17 

5 + 3b = 17

      3b = 12

        b = 4 

U5 = a + 4b 

      = 5 + 4 (4) 

      = 5 + 16

      = 21 

Maka produksi pada bulan kelima adalah 21 ton.